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Pumping Lemma für kontextfreie Sprachen
Das Pumping Lemma für kontextfreie Sprachen besagt, dass wenn \(L\) eine kontextfreie Sprache ist, dann existiert eine Zahl \(p\) (die Pumping-Länge), so dass sich jedes Wort \(z\) der Länge \(|z| \geq p\) aus \(L\) auf eine Weise \(z = uvwxy\) zerlegen lässt, sodass folgende Bedingungen erfüllt sind:
1. \(|vwx| \leq p\),
2. \(|vx| \geq 1\),
3. für alle \(i \geq 0\) ist \(uv^iwx^iy\) in \(L\).
Um zu beweisen, dass eine Sprache \(L\) nicht kontextfrei ist, müssen wir zeigen, dass für jedes \(p\) ein Wort \(z\) existiert, so dass für jede Zerlegung \(z = uvwxy\), welche die Bedingungen 1 und 2 erfüllt, ein \(i\) existiert, für das \(uv^iwx^iy\) nicht in \(L\) liegt.
Überprüfung der Sprache \(L = \{a^n b^{2n} c^{3n} | n \in \mathbb{N}\}\)
Wir versuchen nun zu beweisen, dass die gegebene Sprache \(L\) nicht kontextfrei ist, indem wir das Pumping Lemma anwenden.
Angenommen, \(L\) ist kontextfrei. Dann existiert eine Pumping-Länge \(p\). Wählen wir \(z = a^p b^{2p} c^{3p}\), welches offensichtlich in \(L\) liegt und dessen Länge größer oder gleich \(p\) ist.
Zerlegen wir \(z\) in \(uvwxy\), gemäß den Bedingungen des Pumping Lemmas. Da \(|vwx| \leq p\), können \(v\) und \(x\) nicht gleichzeitig Zeichen aus mehr als einem der Segmente \(a^p\), \(b^{2p}\), \(c^{3p}\) enthalten, weil die Summe der Längen von zwei beliebigen Segmenten größer als \(p\) ist.
Es gibt nun mehrere Fälle zu betrachten:
1.
\(v\) und \(x\) enthalten nur Zeichen ‚a‘: Pumpen wir \(i = 2\), somit erhalten wir ein Wort mit mehr ‚a‘ als ursprünglich, aber die Anzahl der ‚b‘ und ‚c‘ bleibt unverändert, was nicht in \(L\) ist.
2.
\(v\) und \(x\) enthalten nur Zeichen ‚b‘: Analog, wenn \(i = 2\) gesetzt wird, bekommen wir mehr ‚b‘ ohne die Anzahl von ‚a‘ und ‚c‘ zu verändern, was wiederum nicht in \(L\) liegt.
3.
\(v\) und \(x\) enthalten nur Zeichen ‚c‘: Ein erneutes Pumpen führt zu demselben Problem wie oben.
4.
\(v\) und \(x\) liegen in unterschiedlichen Segmenten: Dies würde die Proportion von ‚a‘, ‚b‘ und ‚c‘ brechen, sobald wir pumpen.
In allen Fällen finden wir keine Möglichkeit, das Wort zu pumpen, ohne aus der Sprache \(L\) herauszufallen. Daraus folgt, dass unsere ursprüngliche Annahme, \(L\) sei kontextfrei, falsch sein muss.
Fazit
Die Sprache \(L = \{a^n b^{2n} c^{3n} | n \in \mathbb{N}\}\) ist nicht kontextfrei.
