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Ist die folgende Sprache kontextfrei?
Die Sprache \(L = \{w \in \{a,b\}^* | w = 0^n1^m0^n, \text{ mit } n, m \in \mathbb{N}, n < m\}\) wird behauptet, nicht kontextfrei zu sein. Um diese Vermutung zu überprüfen, kann das Pumping Lemma für kontextfreie Sprachen angewandt werden.
Das Pumping Lemma für kontextfreie Sprachen besagt, dass für jede kontextfreie Sprache \(L\) eine Zahl \(p\) (die Pumpinglänge) existiert, so dass jedes Wort \(w\) in \(L\) mit \(|w| \geq p\) so in fünf Teile \(w = uvwxy\) zerlegt werden kann, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
1. Für jedes \(i \geq 0\) gilt \(uv^iwx^iy \in L\),
2. \(|vx| > 0\),
3. \(|vwx| \leq p\).
Um zu zeigen, dass die Sprache \(L\) nicht kontextfrei ist, muss gezeigt werden, dass es ein Wort \(w \in L\) gibt, für das keine solche Zerlegung existiert, die die Bedingungen des Pumping Lemmas erfüllt.
Ansatz zur Verwendung des Pumping Lemmas:
Man wähle ein Wort \(w = 0^n1^{n+1}0^n\), wobei \(n\) die Pumpinglänge \(p\) ist. Dieses Wort gehört offensichtlich zu \(L\), da es genau \(n\) Nullen, \(n+1\) Einsen und dann nochmals \(n\) Nullen hat, womit die Bedingung \(n < m\) erfüllt ist.
Jetzt wird überlegt, wie \(w = 0^n1^{n+1}0^n\) in \(uvwxy\) zerlegt werden kann, sodass beim "Aufpumpen" oder "Abpumpen" durch die Wiederholung von \(v\) und \(x\) das resultierende Wort immer noch die Form \(0^n1^m0^n\) hat und dabei \(n < m\) bleibt.
Betrachtung der Fälle für die Zerlegung \(vwx\):
1.
\(vwx = 0\cdots01\cdots10\cdots0\): Falls \(v\) und \(x\) sowohl Nullen als auch Einsen enthalten oder ausschließlich aus einem der beiden Zeichen in derartiger Mischung bestehen, dass beim Aufpumpen die Anzahl der Einsen im Vergleich zu den umgebenden Nullen nicht konstant bleibt, kann die Form nicht erhalten werden, da beim Auf- oder Abpumpen das Verhältnis \(n < m\) verletzt werden könnte.
2.
\(vwx = 1\cdots1\): Falls \(vwx\) nur Einsen enthält und mindestens eine Eins im gepumpten Teil ist, dann resultiert das Aufpumpen lediglich in einer Erhöhung von \(m\), was die Einhaltung der Form \(0^n1^m0^n\) nicht beeinträchtigt, solange \(n < m\) bleibt. Jedoch kann das Abpumpen dazu führen, dass \(m \leq n\) wird, was gegen die Bedingung verstößt.
3.
\(vwx = 0\cdots0\) oder
\(vwx = 0\cdots01\cdots 1\cdots0\): Enthält der gepumpte Teil Nullen, so wird beim Aufpumpen die Bedingung \(n < m\) verletzt, da die Anzahl der Nullen schneller steigt als die der Einsen oder gleichbleibt, was nicht erlaubt ist.
Schlussfolgerung:
Da in allen angegebenen Fällen das Auf- oder Abpumpen dazu führen kann, dass die resultierenden Wörter die Bedingung \(n < m\) verletzen, gibt es keine gültige Zerlegung von \(w\) in \(uvwxy\) gemäß den Bedingungen des Pumping Lemmas. Dies zeigt, dass die gegebene Sprache \(L\) nicht kontextfrei ist.
