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Sei \( A \) das deutsche Alphabet (siehe hier). In dieser Aufgabe betrachten wir sogenannte Tupelmengen \( M \) der folgenden Form: \( M \subseteq A \times \mathbb{N} \). Diese Mengen haben die Möglichkeit, die Anzahl der Vorkommen eines bestimmten \( x \in A \) als zweiten Wert des Tupels "zu speichern". Hierbei ist wichtig, dass in Tupelmengen keine zwei Elemente \( (x, i),(y, j) \) mit \( x=y \) vorkommen dürfen und für alle Elemente \( (x, i) \) einer Tupelemenge stets \( i>0 \) gilt. Beispiele:
- legale Tupelmengen: \{\}\( ,\{(a, 1),(b, 3)\} \)
- illegale Tupelmengen: \( \{(a, 0)\} \), sollte \{\} sein. \( \{(b, 1),(b, 3)\} \), sollte \( \{(b, 4)\} \) sein. Insofern sind die Mengenrelationen \( \cup, \cap \) und \( \backslash \) in ihrer ursprünglichen Definition für Tupelmengen nur begrenzt sinnvoll. Wir definieren neue Mengenrelationen durch Verwendung der Notation: \( \{x \mid x \) erfüllt die hier aufgeführten Bedingungen \( \} \).
Hierbei verwenden wir die Notation \( \left(x,_{-}\right) \in M \), bzw. \( \left(x,_{-}\right) \notin M \), um auszudrücken, \( o b \) in einer Tupelmenge \( M \) das Zeichen \( x \in A \) mit beliebiger Anzahl vorkommt, bzw. nicht vorkommt.
Wir definieren zwei neue Mengenrelationen für beliebige Tupelmengen \( M, N \) :
- \( M \cap^{\prime} N:=\{(x, \min \{i, j\}) \mid(x, i) \in M,(x, j) \in N\} \)
- \( M-N:=\{(x, i-j) \mid(x, i) \in M,(x, j) \in N, i>j\} \cup\left\{(x, i) \mid(x, i) \in M,\left(x,_{-}\right) \notin N\right\} \)
a) Geben Sie \( M \cap^{\prime} N \) für \( M=\{(a, 1),(b, 3),(c, 3),(d, 7)\} \) und \( N=\{(a, 4),(b, 2)\} \) an.
b) Geben Sie \( M-N \) für \( M=\{(a, 1),(b, 3),(c, 3),(d, 7)\} \) und \( N=\{(a, 4),(b, 2)\} \) an.
c) Definieren Sie die Relation \( \cdot \), sodass \( M \cdot N \) genau die in \( M \) und \( N \) vorkommenden \( x \in A \) mit multipliziertem Vorkommen enthält. Das Ergebnis soll stets eine legale
Tupelmenge sein! \( \quad \) Beispiel: \( \{(a, 1),(b, 2)\} \cdot\{(b, 3),(c, 4)\}=\{(b, 6)\} \)
d) Definieren Sie die Relation \( + \), sodass \( M+N \) genau die Elemente der beiden Tupelmengen mit addiertem Vorkommen enthält. Das Ergebnis soll stets eine legale Tupelmenge sein! Beispiel: \( \{(a, 1),(b, 2)\}+\{(b, 3),(c, 4)\}=\{(a, 1),(b, 5),(c, 4)\} \)
Habe nach ziemlich langem grübeln aufgegeben und weiß nicht wie ich hier weiter machen soll oder anfangen soll. Schafft es jemand die Aufgaben zu lösen und den Lösungsweg genauer zu erläutern?
