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Min Heap beweise → Heapsort
Ein Min-Heap ist ein binärer Heap, bei dem der Wert eines Knoten immer kleiner oder gleich den Werten seiner Kindknoten ist. Das bedeutet, das kleinste Element befindet sich immer an der Wurzel des Heaps. Heaps lassen sich effizient in einem Array speichern, wobei das Element an der Position 0 (oder 1, abhängig von der Indizierung) die Wurzel des Heaps ist. Die Kinder des Knotens bei Index \(i\) befinden sich an den Positionen \(2i + 1\) und \(2i + 2\) für nullindizierte Arrays.
Nun zu den Aussagen:
1) In jedem Min-Heap gibt es ein Blatt, in dem der Wert des größten Elements gespeichert ist.
Diese Aussage ist
wahr. In einem Min-Heap ist das größte Element immer eines der Blätter, da auf dem Weg vom Wurzelknoten zu diesem größten Element die Werte aufgrund der Heap-Eigenschaft immer zunehmen müssen. Es gibt keine Regel, nach der das größte Element einen Kindknoten haben könnte, weil ein solcher Kindknoten einen noch größeren Wert haben müsste, was im Widerspruch zur Definition eines Min-Heaps stünde.
Beweis: Angenommen, das größte Element befindet sich nicht in einem Blatt. Das würde bedeuten, dass es mindestens ein Kind hat (weil es nicht auf der letzten Ebene ist). Da es das größte Element im Heap ist, müsste sein Kind einen kleineren oder gleichen Wert haben, was einen Widerspruch darstellt, denn das Kind müsste, um die Heap-Eigenschaft zu erfüllen, einen größeren Wert haben. Daher muss das größte Element in einem Blatt liegen.
2) In jedem Min-Heap gibt es ein Blatt, in dem der Wert des zweitgrößten Elements gespeichert ist.
Diese Aussage ist
nicht notwendigerweise wahr. Obwohl das größte Element in einem Blatt zu finden ist, kann das zweitgrößte Element entweder in einem Blatt oder als Elternknoten eines der Blätter existieren. In einem Min-Heap ist es möglich, dass das zweitgrößte Element ein Elternteil des Blattes mit dem größten Wert ist, oder sogar ein Elternteil eines anderen Knotens, der nicht notwendigerweise das größte Element enthält.
Gegenbeispiel: Betrachten wir einen Min-Heap mit den Elementen {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, wobei das Element 7 das größte ist und in einem Blatt liegt.
1
/ \
2 3
/| |\
4 5 6 7
In diesem Fall ist das zweitgrößte Element 6, und es ist kein Blattknoten, sondern der Elternteil des Blattknotens mit dem größten Wert 7. Somit widerlegt dieses Beispiel die Allgemeingültigkeit der zweiten Aussage.
In der Praxis der Anwendung des Heapsorts, wo man den Heap zur Sortierung nutzt, sorgt die Extraktion des Wurzelelements (des kleinsten Elements) und die Neugestaltung des Heaps dafür, dass die Elemente in sortierter Reihenfolge aus dem Heap entfernt werden. Dies wirkt sich jedoch nicht direkt auf die Gültigkeit der diskutierten Aussagen zu Struktureigenschaften des Min-Heaps aus.
