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Lösung zur Färbung eines AVL-Baums für die Konformität zu Rot-Schwarz-Bäumen
Die Aufgabe stellt eine Verbindung zwischen AVL-Bäumen und Rot-Schwarz-Bäumen her. Zum besseren Verständnis definieren wir zunächst beide Baumeigenschaften kurz:
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AVL-Baum: Ein Selbstbalancierender Binärbaum, in dem für jeden Knoten die Differenz zwischen den Höhen der linken und rechten Teilbäume höchstens 1 beträgt.
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Rot-Schwarz-Baum: Ein Binärer Suchbaum, der durch folgende Eigenschaften charakterisiert wird:
1. Jeder Knoten ist rot oder schwarz gefärbt.
2. Die Wurzel ist immer schwarz.
3. Alle Blätter sind schwarz.
4. Wenn ein roter Knoten Kinder hat, dann sind diese schwarz (keine zwei roten Knoten können direkt aufeinanderfolgen).
5. Jeder Pfad von einem Knoten zu einem seiner Nachkommen hat die gleiche Anzahl an schwarzen Knoten (Schwarzhöhe).
Wir müssen zeigen, dass es möglich ist, einen AVL-Baum so zu färben, dass er die Eigenschaften eines Rot-Schwarz-Baums erfüllt, indem wir die angegebene Aussage induktiv beweisen:
1. Für
\(h = 0\) (Basisfall): Ein Baum der Höhe 0 hat nur einen Knoten (die Wurzel), und dieser kann schwarz gefärbt werden. In diesem Fall ist die Schwarzhöhe \((0/2) + 1 = 1\), was der Bedingung für eine gerade Höhe mit Wurzelfärbung entspricht. Somit ist der Basisfall erfüllt.
2.
Induktionsannahme: Wir nehmen an, dass die Aussage für einen Baum der Höhe \(h\) wahr ist, d.h., ein Baum der Höhe \(h\) kann entsprechend der Bedingungen rot und schwarz gefärbt werden.
3.
Induktionsschritt:
Für \(h\) ungerade (d.h. \(h+1\) wird gerade, weil wir von \(h\) zu \(h+1\) übergehen):
- Da \(h\) ungerade ist, sagen unsere Regeln, dass die Wurzel des Teilbaums rot ist und die Schwarzhöhe \(h+1/2\) beträgt. Nach dem Hinzufügen eines weiteren Levels zum Baum (um \(h+1\) zu erreichen), wird die Höhe gerade.
- Die neuen Blätter können als schwarze Knoten hinzugefügt werden, wodurch die Wurzel, wenn sie vorher rot war, nun schwarz gefärbt werden kann, um die Anforderungen für eine gerade Höhe zu erfüllen. Die Schwarzhöhe des Baumes erhöht sich um 1, was unserer Regel entspricht.
Für \(h\) gerade (d.h. \(h+1\) wird ungerade):
- Da \(h\) gerade ist, ist die Wurzel schwarz und die Schwarzhöhe \((h/2) + 1\). Nach dem Hinzufügen eines Levels wird \(h+1\) ungerade.
- Um die Wurzelystematik für ungerade Höhen zu erfüllen, kann die zusätzliche Ebene aus roten Knoten bestehen, die Schwarzhöhe bleibt dadurch unverändert (\(h+1+1\)/2 = \(h/2\) + 1), was der geforderten Schwarzhöhe \(\frac{h+1}{2}\) für ein ungerade Höheniveau entspricht, da die roten Knoten nicht zur Schwarzhöhe beitragen.
Dadurch erfüllen wir die Bedingungen für die Färbung entsprechend der Baumhöhe. Die finale Schwarzfärbung der gesamten Baumwurzel stellt sicher, dass die Wurzeleigenschaft eines Rot-Schwarz-Baums erfüllt bleibt.
Durch diese induktive Argumentation wird gezeigt, dass es immer möglich ist, die Knoten eines AVL-Baums so zu färben, dass sie die Eigenschaften eines Rot-Schwarz-Baums erfüllen, gemäß den spezifizierten Regeln für die Schwarzhöhe in Abhängigkeit von der Höhe des Baums.
