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IEEE-754 nach Dezimalzahl darstellen
Die vorliegende IEEE-754 codierte Gleitpunktzahl im single precision Format lautet:
11000100111111000101000000000000.
In IEEE-754 single precision ist eine Gleitpunktzahl in folgende Abschnitte unterteilt:
- 1 Bit für das Vorzeichen (\(S\))
- 8 Bits für den Exponenten (\(E\))
- 23 Bits für die Mantisse (\(M\))
Demzufolge ergibt sich aus der gegebenen Binärzahl folgende Aufteilung:
- Vorzeichen (\(S\)):
1
- Exponent (\(E\)):
10001001
- Mantisse (\(M\)):
11111000101000000000000
Berechnung des Vorzeichens:
Das Vorzeichen ist bestimmt durch das erste Bit:
- Ist das Bit
0, ist die Zahl positiv.
- Ist das Bit
1, ist die Zahl negativ.
Da \(S = 1\), ist die Zahl negativ.
Berechnung des Exponenten:
Der Exponent wird als unvorzeichenbehafteter Binärwert dargestellt, wobei eine Verschiebung (\(bias\)) von 127 (bei single precision) angewendet wird. Um den tatsächlichen Exponenten (\(e\)) zu erhalten, muss diese Verschiebung subtrahiert werden:
\(
e = E_{\text{dez}} - 127
\)
\(E_{\text{dez}}\) ist der dezimale Wert des Exponenten:
\(
E_{\text{dez}} = 1\cdot2^{7} + 0\cdot2^{6} + 0\cdot2^{5} + 0\cdot2^{4} + 1\cdot2^{3} + 0\cdot2^{2} + 0\cdot2^{1} + 1\cdot2^{0} = 128 + 8 + 1 = 137
\)
Daraus folgt für \(e\):
\(
e = 137 - 127 = 10
\)
Berechnung der Mantisse:
Die Mantisse wird basierend auf der folgenden Formel berechnet:
\(
M = 1 + \sum_{i=1}^{23} m_i \cdot 2^{-i}
\)
\(m_i\) sind die Bits der Mantisse von links nach rechts, beginnend mit dem am weitesten links stehenden Bit.
Für die Mantisse ergibt sich:
\(
M = 1 + 1\cdot2^{-1} + 1\cdot2^{-2} + 1\cdot2^{-3} + 1\cdot2^{-4} + 1\cdot2^{-5} + 0\cdot2^{-6} + 0\cdot2^{-7} + 1\cdot2^{-8} + 0\cdot2^{-9} + 1\cdot2^{-10} = 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 + 0.03125 + 0 + 0 + 0.00390625 + 0 + 0.0009765625
\)
Das ergibt:
\(
M = 1.975586
\)
Kombination aller Teile:
Die Gleitpunktzahl wird mit der Basis 2 und dem berechneten Exponenten (\(e\)) als Basis-Exponenten-Potenz ausgedrückt:
\(
\text{Wert} = (-1)^S \times M \times 2^e
\)
Einsetzen der berechneten Werte:
\(
\text{Wert} = (-1)^1 \times 1.975586 \times 2^{10} = -1.975586 \times 1024 = -2022.20
\)
Antwort:
Der Wert der codierten Zahl lautet \(-2022.20\).
