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Laufzeit für das auf 3-Wege-Split basierende Quicksort
Der auf einem 3-Wege-Split basierende Quicksort-Algorithmus ist eine Optimierung des klassischen Quicksort-Algorithmus, der insbesondere bei vielen Wiederholungen desselben Elements im Array vorteilhaft ist. Hierbei wird das Array in drei Teile geteilt: Elemente kleiner als das Pivot-Element, Elemente gleich dem Pivot-Element, und Elemente größer als das Pivot-Element. Dies erhöht die Effizienz des Sortierens, wenn viele Duplikate vorhanden sind, da alle Duplikate des Pivot-Elements in einem Schritt behandelt werden.
Die Laufzeit des 3-Wege-Quicksort-Algorithmus wird oft in Abhängigkeit von der Anzahl der zu sortierenden Elemente \(N\) und der Anzahl der unterschiedlichen Schlüssel \(n\) ausgedrückt.
Die worst-case-Laufzeit für den Quicksort-Algorithmus im Allgemeinen liegt in \(O(N^2)\), während der 3-Wege-Quicksort im Bestfall und durchschnittlichen Fall häufig wesentlich schneller ist. Jedoch hängt die spezifische Laufzeit von der Verteilung der Elemente ab.
Die Angabe, dass die Laufzeit in \(O(n \times N)\) ist, beruht auf der Annahme, dass durch die Wahl des Pivot-Elements und den daraufhin erfolgten Split, die Anzahl der unterschiedlichen Schlüssel \(n\) direkt die Anzahl der maximal notwendigen Durchläufe beeinflusst. Je mehr verschiedene Schlüssel es gibt, desto mehr Aufteilungen können im besten und durchschnittlichen Fall gemacht werden, was eine schnellere Sortierung ermöglicht. Die Mischung aus der Notwendigkeit, jedes Element zu beachten (\(N\)), und der Optimierung basierend auf der Anzahl der unterschiedlichen Schlüssel (\(n\)), führt zu der Laufzeiteinschätzung \(O(n \times N)\).
Unendliche Menge von Folgen für die Laufzeit aus \(\Omega(n \times N)\)
Eine unendliche Menge von Folgen, die zur Laufzeit von \(\Omega(n \times N)\) führt, könnte Folgen enthalten, bei denen die Anzahl der unterschiedlichen Schlüssel deutlich kleiner als die Hälfte der Anzahl der zu sortierenden Elemente ist (\(n < N / 2\)), aber immer noch groß genug, um die Effizienzvorteile des 3-Wege-Splits nicht vollständig nutzen zu können.
Ein Beispiel für solch eine Folge wäre eine, die eine große Anzahl von Duplikaten eines kleinen Satzes von Schlüsselwerten enthält. Zum Beispiel könnte die Menge enthalten:
- Alle Permutationen von Arrays, die aus \(N/2\) Einheiten des einen Werts und je \(N/4\) Einheiten von zwei anderen Werten bestehen. Dies würde in einer Anzahl von \(n = 3\) unterschiedlichen Schlüsseln resultieren, unabhängig davon, wie groß \(N\) wird.
Der Grund, warum solche Arrays eine Laufzeit von \(\Omega(n \times N)\) haben, liegt an der Tatsache, dass jeder Durchlauf des 3-Wege-Quicksort-Algorithmus es nicht effizient schafft, das Array in signifikant kleinere Unterteile zu splitten, insbesondere wenn als Pivot-Element häufig ein Wert mit vielen Duplikaten gewählt wird. Dies führt zu einer Anzahl von Wiederholungsschritten, die proportional zur Anzahl der Elemente und den wenigen unterschiedlichen Schlüsseln ist, was die theoretische untere Grenze der Laufzeit rechtfertigt.
