Wie kann ich hier die Laufzeit bestimmen?

Question

Hallo :)

Ich habe folgende Aufgabe:

Ich soll die Laufzeit eines Algorithmus bestimmen (O-Notation) und das mithilfe des Master-Theorems.

Algorithmus:

func \( \operatorname{Fun}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \quad \) (mit \( n=2^{k}, k \) ungerade)
if \( n=2 \) then
  \( y_{1} \leftarrow x_{1}+x_{2} \)
  \( y_{2} \leftarrow x_{1} \cdot x_{2} \)
else begin
  \( \vec{a} \leftarrow \operatorname{Fun}\left(x_{1}, \ldots, x_{n / 4}\right) \)
  \( \vec{b} \leftarrow \operatorname{Fun}\left(x_{3 n / 4+1}, \ldots, x_{n}\right) \)
  for \( i=1 \) to \( n / 4 \) do begin
      \( y_{i} \leftarrow a_{i}+b_{i} \)
      \( y_{n / 4+i} \leftarrow x_{n / 4+i} \)
      \( y_{n / 2+i} \leftarrow x_{n / 2+i} \)
      \( y_{3 n / 4+i} \leftarrow a_{i} \cdot b_{i} \)
  end
end
return \( \left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right) \)

Mein Problem:

Normalerweise weiß ich wie man den Master-Theorem anwendet, aber nur wenn mir schon die Funktionen gegeben sind also als beispiel T(n)= T(n/2)+3n mit T(1)=3 und das wäre  O(n).

Wenn mir jedoch ein Algorithmus gegeben ist, weiß ich nicht, wie ich hier sowas wie  "T(n)= T(n/2)+3 mit T(1)=3" schreiben oder direkt die Laufzeit in O-Notation bestimmen kann.

Bei der Aufgabe stand auch, dass wir annehmen sollen, dass jede Addition und Multiplikation jeweils eine Zeiteinheit benötigt und Zuweisungen momentan sind.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Bestimmung der Laufzeit eines Algorithmus mit dem Master-Theorem

Um die Laufzeit für den gegebenen Algorithmus zu bestimmen, müssen wir zunächst die Rekursionsgleichung formulieren, die die Zeitkomplexität des Algorithmus beschreibt. Im Anschluss können wir das Master-Theorem anwenden, um die Zeitkomplexität zu ermitteln.

Beim Betrachten des Algorithmus sehen wir, dass der Algorithmus rekursiv ist und in jedem Rekursionsschritt die Größe des Problems in etwa viertelt. Genauer gesagt, wird das Problem in zwei Subprobleme der Größe \(n/4\) aufgeteilt. Also, für \(n > 2\), rufen wir die Funktion Fun zweimal mit einem Viertel der Problemgröße auf.

Schritt 1: Formulierung der Rekursionsgleichung

Für den gegebenen Algorithmus lautet die Rekursionsgleichung wie folgt:
\( T(n) = 2T\left(\frac{n}{4}\right) + cn \)

Hierbei ist:
- \(2T\left(\frac{n}{4}\right)\) der Teil, der die zwei rekursiven Aufrufe beschreibt, wobei jeder Aufruf ein Problem der Größe \(n/4\) löst.
- \(cn\) steht für die Zeit, die benötigt wird, um die Ergebnisse der rekursiven Aufrufe zusammenzuführen. Da in der Beschreibung des Algorithmus für jede Addition und Multiplikation eine Zeiteinheit angenommen wird und Zuweisungen momentan sind, betrachten wir hier vereinfacht \(cn\) als den Aufwand für die Schritte außerhalb der Rekursionen, wobei \(c\) eine Konstante ist.

Schritt 2: Anwendung des Master-Theorems

Das Master-Theorem erlaubt uns, die Laufzeit eines rekursiven Algorithmus zu bestimmen, wenn die Rekursionsgleichung die folgende Form hat:
\( T(n) = aT\left(\frac{n}{b}\right) + f(n) \)
wo:
- \(a \geq 1\) und \(b > 1\) Konstanten sind,
- \(f(n)\) eine Funktion ist.

Für unseren Fall gilt \(a = 2\), \(b = 4\), und \(f(n) = cn\).

Nun können wir das Master-Theorem anwenden, um die Zeitkomplexität zu bestimmen. Wir müssen herausfinden, in welche Kategorie unser Fall fällt. Das Master-Theorem sagt uns Folgendes:

- Wenn \(f(n) = O(n^{\log_b a-\epsilon})\) für ein \(\epsilon > 0\), dann ist \(T(n) = \Theta(n^{\log_b a})\).
- Wenn \(f(n) = \Theta(n^{\log_b a})\), dann ist \(T(n) = \Theta(n^{\log_b a} \log n)\).
- Wenn \(f(n) = \Omega(n^{\log_b a+\epsilon})\) für ein \(\epsilon > 0\) und wenn \(a f\left(\frac{n}{b}\right) \leq k f(n)\) für ein \(k < 1\) und hinreichend großes \(n\), dann ist \(T(n) = \Theta(f(n))\).

In unserem Fall ist \(f(n) = cn\) und \(\log_b a = \log_4 2 = 0.5\). Da \(f(n) = cn\) und \(cn = n^{1}\), und \(1 > 0.5\), fällt unser Fall in die dritte Kategorie des Master-Theorems. Deshalb ist:

\( T(n) = \Theta(n) \)

Fazit:

Die Zeitkomplexität des gegebenen Algorithmus, gemäß der O-Notation, ist \(O(n)\).